商品打包(pack)
题面：
有\(n\)个商品，第\(i\)个商品的体积为\(a_i\)，若干个质量为\(L\)的背包。令\(f_i\)为将第\(i\)个商品到第\(n\)个商品依次按如下的方式放入背包中所需要的最少背包数。
将第\(k\)商品放入背包的方法为，如果当前背包剩余容量\(\ge k\)那么放入，否则加入新背包。
题解：
从后往前加入，加入到第\(i\)个时所需要的背包数量即为\(f_i\)。
正确性证明:
假设顺着走需要三个背包，倒着走需要两个（如图，其他情况同理）：
其中令\(x_1\)到\(x_2\)的和为\(a\)，往后的每段同理依次为\(b\),\(c\),\(d\)。可以通过顺着和倒着写出两个方程组
顺着：
\[\left\{\begin{matrix}a\le L\\a+b>L\\b+c\le L\\b+c+d>L\\d\le L\end{matrix}\right.
\]
倒着：
\[\left\{\begin{matrix}c+d\le L\\b+c+d>L\\a+b\le L\end{matrix}\right.
\]
其中顺着和倒着中\(a+b\le L\)且\(a+b>L\)，矛盾，所以说不存在背包个数不一样的情况。
复杂度\(\Theta(n)\)
代码：
#include<cstdio>
const int N=200005;
int n,L,a[N],f[N];
int main(){freopen("pack.in","r",stdin),freopen("pack.out","w",stdout),scanf("%d%d",&n,&L);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=n,cnt=1,sum=0;i;f[i]=cnt,i--){sum+=a[i];if(sum>L)sum=a[i],cnt++;}for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);return puts(""),fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
集合(set)
题面：
有一个正整数\(n\)，和一个大小为\(m\)的可重集合\(B\)，对任意的\(B\)的元素\(x\)其中可以令\(n\)变成\(\left\lfloor\frac n x\right\rfloor\)。
问\(n\)可以变成多少种数。
题解：
直接DFS即可，其中\(n\)可以变成的数的种类使用unordered_set存储
在\(n=10^{15}\)，\(B=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}\)时，答案最大为\(458123\)，可以使用unordered_set存储，时间可以通过。
代码：
#include<cstdio>
#include<unordered_set>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int M=15;
ll n,a[M];
int m;
std::unordered_set<ll>vis;
inline bool cmp(ll x,ll y){return x>y;}
void dfs(ll x){if(vis.find(x)!=vis.end())return;vis.insert(x);if(x==0)return;for(int i=1;i<=m;i++)dfs(x/a[i]);
}
int main(){freopen("set.in","r",stdin),freopen("set.out","w",stdout),scanf("%lld%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",a+i);return std::sort(a+1,a+m+1,cmp),m=std::unique(a+1,a+m+1)-a-1,dfs(n),printf("%lld\n",(ll)vis.size()),fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
最小生成树(mst)
暂时未完成
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
const int N=300005,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,x[N],fa[N],size[N],in[N],to[N],res[N],pre[N],cpre[N],suf[N],csuf[N],ans;
bool vis[N];
int find(int x){return x^fa[x]?fa[x]=find(fa[x]):x;}
inline void swap(int&x,int&y){int t=x;x=y,y=t;
}
inline bool merge(int x,int y){x=find(x),y=find(y);if(x==y)return false;if(size[x]<size[y])swap(x,y);size[x]+=size[y],fa[y]=x;return true;
}
int calc(){memset(vis+1,0,sizeof(bool)*n);for(int i=1;i<=n;i++)vis[find(i)]=true;int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=(int)vis[i];return cnt;
}
inline bool Min(int&x,int y){if(x>y)return x=y,true;return false;
}
signed main(){freopen("mst.in","r",stdin),freopen("mst.out","w",stdout),scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",x+i),fa[i]=i,size[i]=1;for(;calc()!=1;){for(int i=1,p1=0,p2=0;i<=n;pre[i]=p1,cpre[i]=p2,i++){in[i]=find(i),res[i]=INF;if(p1==0)p1=i;else if(p2==0){if(in[p1]!=in[i]){if(x[i]>x[p1])p2=p1,p1=i;else p2=i;}else{if(x[i]>x[p1])p1=i;}}else if(x[i]>x[p1]){if(in[i]==in[p1])p1=i;else p2=p1,p1=i;}else if(x[i]>x[p2]&&in[i]!=in[p1])p2=i;}for(int i=n,p1=0,p2=0;i;suf[i]=p1,csuf[i]=p2,i--){if(p1==0)p1=i;else if(p2==0){if(in[p1]!=in[i]){if(x[i]<x[p1])p2=p1,p1=i;else p2=i;}else{if(x[i]<x[p1])p1=i;}}else if(x[i]<x[p1]){if(in[i]==in[p1])p1=i;else p2=p1,p1=i;}else if(x[i]<x[p2]&&in[i]!=in[p1])p2=i;}for(int i=1;i<=n;i++){if(in[i]!=in[pre[i]]){if(Min(res[in[i]],x[i]-x[pre[i]]))to[in[i]]=in[pre[i]];}else if(cpre[i])if(Min(res[in[i]],x[i]-x[cpre[i]]))to[in[i]]=in[cpre[i]];if(in[i]!=in[suf[i]]){if(Min(res[in[i]],x[suf[i]]-x[i]))to[in[i]]=in[suf[i]];}else if(csuf[i])if(Min(res[in[i]],x[csuf[i]]-x[i]))to[in[i]]=in[csuf[i]];}for(int i=1;i<=n;i++)if(merge(in[i],in[to[i]]))ans+=res[in[i]];}printf("%lld\n",ans);return fflush(stdout),fclose(stdin),fclose(stdout),0;
}
